张益唐的论文全篇(张益唐的博士导师)

11.6

知识分子

知识分子

妻子孙亚玲提供的张的近照。

指导阅读

10月中旬，张攻克朗道-西格尔零点猜想的消息在数学界引起轰动，引起公众关注。11月5日，张的论文在网上流传。

张以突破孪生素数猜想而闻名于世，但朗道-西格尔零点猜想其实是他关注已久的一个大问题。这篇论文是否真的能解决这个猜想，《知识分子》将继续关注。

作者|张天其迪李惠

编辑|钱伟

11月5日上午，一篇111页的数学论文在网上流传。作者是张，美籍华人数学家，加州大学圣巴巴拉分校的数学教授。文章标题是《离散平均数估计和朗道-西格尔零点》。

（

离散均值估计和朗道-西格尔零点

)。

张的数学论文

张艺谋的妻子孙亚玲告诉《知识分子》，张艺谋已于周五上午向arxiv网站提交了论文。但笔者发现，人们在官网上直接找不到这篇文章的链接，但该论文其实已经在业内流传。

67岁的张花了20多年的时间研究本文讨论的问题。早在半个多月前，美国东部时间10月14日，张在北大纽约校友会的一次数学经验分享活动上，就抑制不住内心的喜悦。在正式演讲之前，他笑着宣布他已经基本解决了兰德尔西格尔的问题。

(朗道-西格尔)

虽然Zero guess处于弱势形式，但相关论文将于11月初发表在预印本网站arxiv上。这一消息立即引起广泛关注。

这篇论文今天发布到网上后，张很快开始了一系列的学术报告。作为张山东大学潘承东数学研究所兼职学术带头人，于11月5日晚7点做了题为《关于朗道-西格尔零点猜想》的讲座。11月8日上午，张将继续在北京大学数学科学研究所就同一主题作学术报告。

2013年4月，58岁的张在《数学年刊》。

（

数学年鉴

)

发了一篇论文《素数间的有界距离》。

（

素数间的有界间隙

)。本文证明了素数有无限对。

(p，q)

，其中每对素数之差不超过7000万。这个结果使孪生素数猜想的研究前进了一大步，也使张一举成名。

在北京大学纽约校友会上，张表示，朗道-西格尔零点猜想的解可能比孪生素数猜想的解更有意义。当时他说解决朗道-西格尔零点猜想类似于解决黎曼假设。一旦成功，很多猜想都会变成定理。然而，自1837年狄利克雷研究这个问题以来，近200年来一直没有突破，被认为是整个数论研究的瓶颈。

现在，张相信他已经突破了这个难题。“我确定我做了，我知道我做的是对的。”他说。

朗道-西格尔零点猜想和张孪生素数猜想都是数学中的重要问题。张在加州大学圣巴巴拉分校的同事、解析数论专家杰弗里斯托普(Jeffrey Stopple)曾说，考虑到张过去在孪生素数研究方面的成就，如果张能解决朗道-西格尔零点猜想，“就相当于一个人被闪电击中两次。”

“不服气”

2013年，张在孪生素数猜想的证明上取得重大突破后，收获了不少赞誉和肯定，但仍有数学家不服气。

因为在张的文章发表后大约半年，当时的英国博士后数学家詹姆斯梅纳德获得了2022年的菲尔兹奖。

(詹姆斯梅纳德)

提出了自主解决方案，将张认证的7000万提升到600万。

这不仅是数值上的进步，张也承认他在论文中提出了两个定理，而詹姆斯梅纳德的研究对第一个定理改进了很多。在一些不服气的数学家眼里，詹姆斯梅纳德取得了更好的成绩，而张的研究已经不是最好的了。

在上面提到的校友会分享中，张坦言虽然没有告诉别人，但当时感觉有点不平衡。“我不相信我再也做不出什么好东西了。”张决心做出好的研究成果。从那时起，差不多八年过去了。

在张看来，制造朗道-西格尔零猜想的过程比研究孪生素数猜想更为艰巨和困难。有人说解决孪生素数猜想是大海捞针，但张认为朗道-西格尔零点问题确实是大海捞针。

张做了无数次的计算和尝试，但一直以来，距离上的突破仍然是一纸空文。据张说，他每天至少花12个小时思考数学，甚至在朗道-西格尔零点问题的研究即将结束时，他每天都做相关的噩梦。

“我在大海捞针。打这一针要费很大力气。有了这根针，我就能突破兰道西格尔零点的难关。但我一直没找到针。我猜针可能根本不存在。”张在分享中说。

然而，在多次尝试的基础上，张改变了他的想法，现在他有了一个自信的结果。“在寻找一根针的过程中，我可以说已经摸清了海底的一切。后来发现不用针也可以做，就这样。”

张在前述分享会上也提到，学习要有工匠精神。他用一个钟表匠来形容自己是一个研究者。“像一个做了很久的钟表匠，一步一步坚定的做着。别人可能做到了，但你能做到极致吗？我想我已经尽力了。在此基础上，我可以发现新的东西。”张说。

做“大题”

张关注朗道-西格尔零点猜想并非偶然。他在学习上一直是个雄心勃勃的人。

他曾在一次采访中说，“我有这个野心。黎曼猜想是数学界公认的。哥德巴赫猜想和孪生素数都无法与之相比。是最重要最著名的问题。”

由于追求大问题和完美主义，张发表了少量文章。在他几十年的学术生涯中，他只发表了三篇论文。

在《人物》的采访中，张说他有很多随时可以出结果的研究，但是不愿意拿出来。“为什么我不能彻底完成它？完全拿出来的是大东方和大西方。”当被问到“如果你做这个问题十几年了，但是你失败了，甚至世界上很少有人知道你在做这个工作，你该怎么办？”张的回答是，“好吧，那我就不吭声了。”

张学术生涯的坎坷可能与他的高远追求有关。1978年考入北京大学数学系，在北京大学度过了本科和硕士阶段，并在攻读博士学位时前往美国普渡大学。但在读博期间，他发现论文中引用的导师的一个引理不够可靠，于是坚决拒绝发表论文。1992年，张拿到博士学位后，因为没有发表任何文章，又缺少导师的推荐信，很长一段时间都没有在学术界找到工作。

这样的生活持续了六七年，期间他打了很多零工，远离学术界。直到1999年，我才找到一份讲师的工作。而当他最终站在聚光灯下的时候，就要等到2013年《素数间的有界距离》的出版了。成名后，张曾用“余馨一生最苦，暮年诗搅江湖”来形容她的心情。当时他对媒体说，“其实杜甫写这首诗，除了缅怀前人，也是一种自我比较。我很喜欢这种感觉。晚年他的诗搅起了河渠之地，我有点虚浮。”

然而，让张成明成名的孪生素数猜想只是他思考的大问题之一。在一次采访中，张说：“我研究孪生素数问题已经有三四年了。但我希望你不要误会我。这个问题我思考了三四年，但不代表我一直在做。”

朗道西格尔的零猜想从年轻时就开始被关注，正式研究已经有20多年了，比研究孪生素数要早得多。早在2007年，张就在arxiv上提交了一篇名为《论郎道-西格尔零点猜想》的文章。

（

关于朗道-西格尔零点猜想

)

遗憾的是，这篇论文的论证存在问题。

在不同的场合，他也多次提到朗道-西格尔零点问题的进展。在2013年的一次采访中，他提到了2007年朗道-西格尔零问题论文的后续。“现在还不能说它完全完成了，但是它

在完成孪生素数猜想的研究后，张重点研究了朗道-西格尔零点猜想。2019年再次接受采访时，他说没有什么大的障碍，剩下的只是一些技术问题。

在今年的未来科学奖科学峰会上，他向公众介绍了朗道-西格尔零点猜想及其研究进展。2020年，他再次来到CUHK。

(深圳)

大师在报告厅介绍了他进一步的研究成果。

论文还需要时间检验。

朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要特例，虽然广义黎曼假设和黎曼假设

(猜测)

相似的名字，但不是一样的东西。对于这种误解，张曾向媒体澄清，朗道-西格尔零点猜想与黎曼猜想没有直接关系。

在未来科学奖的科学峰会上，张解释说，“如果朗道-西格尔零点真的存在，那么广义黎曼假设就是错误的，所以实际上我们所说的朗道-西格尔零点问题就是证明这样的零点不存在。”我还不知道这样的零是否存在，但是如果我们想象这样的零存在，我们会得出很多非常强的推论，甚至是太强了。

今天看了张的论文，美国德克萨斯大学奥斯汀分校理论物理学博士张解释说，从他论文的介绍来看，证明的方式是假设如果Siegel零点存在，最终可以得到一个不等式。然后证明这个不等式是错的，得到一个矛盾。

这篇论文的证明是否正确，还得等待时间来给出答案。张说，“这篇论文刚刚发表。到底对不对？他的证明能被同行接受吗？需要一些时间来验证。不过，按照张的性格，他没有把握，也不会轻易公布。让我们拭目以待。”

参考文献：

1.https://mp.weixin.qq.com/s/7cCpCAwqjIYUsARWSQZrlw

2.https://www.sohu.com/a/256146555_176400

3.http://www.chinaqw.com/hqhr/2018/11-26/209270.shtml

4.http://zhishifenzi.com/depth/character/7742.html

张最近的“突破”

有什么问题？

作者|张

编辑|迪李惠

最近，美籍华裔数学家张声称，他已经攻克了与黎曼猜想有关的朗道-西格尔零点猜想。摘要：从朗道-西格尔猜想出发，简要概述了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和张关于孪生素数的猜想，以及这些猜想的由来和它们之间的关系。

跨越千年，素数无限多吗？

它是素数理论的研究对象，指的是大于1，只能被1和它本身整除的自然数。素数有无穷多个吗？分布如何？这些看似简单的质数让数学家着迷。而且这些简单的问题涉及面很广，对素数分布的研究涉及很多领域，在很多方面推动了数学研究的发展。

关于素数的第一个猜想应该是2300多年前欧几里德提出的，叫做素数无穷大的命题。欧几里得也用反证法给出了最简单的证明。另外，在古希腊，有一种在n不大时实用的埃利希筛选法，可以简单地剔除所有不大于根号n的素数的倍数，从而“筛选出”自然数n以内的所有素数，如下图所示。

图1

a)证明“素数是无穷的”的反证法；b)埃利希筛法(n=18)

欧几里德之后大约两千年，伟大的数学家欧拉

(1707~1783)

在素数问题上已经做了大量的工作，包括证明素数的无穷数，研究与素数分布有关的各种问题。例如，欧拉曾经研究过下面的无穷级数：

(1)

这个级数其实是s的一个函数，后来叫做函数。

起初，欧拉很自然地考虑了s为正整数的情况：当s=1时，我们得到熟悉的不收敛调和级数；比如s1，级数的收敛，比如s=2，就是欧拉求解的巴塞尔级数，无穷项求和的结果是2/6。

天才欧拉把调和级数的发散和“素数无穷多”的问题联系起来，得到了一个惊人的结论：所有素数的倒数之和像调和级数一样发散：

(2)

证明上述结果，间接证明“素数是无穷的”是因为有限序列的和不能发散。

从此欧拉通过研究函数来研究质数，实际上得到了它们之间的一个神奇关系：一个函数等于与所有质数相关的乘积！他得到了下面这个看起来有点奇怪的“欧拉乘积公式”:

(3)

等式左边的符号是与自然数N的幂的倒数有关的无穷和，而右边的符号是遍历所有素数p的无穷积，这个公式把自然数N和复数s结合起来。

(n=1，2，3，4，5等。)

和质数p

(p=2，3，5，7，11等。)

连接。

从欧拉乘积公式可以间接证明有无穷多个素数。

如上所述，有很多方法可以证明有无穷多个素数。然而，素数出现的规律一直困扰着数学家。正整数中素数的出现是没有规律的；但总的来说，素数的个数是有规律的。

我们处理质数最蠢的方法就是从小到大一个一个的列出来。如上图，所有小于100的质数都列出来了，真的没有规律。然后，我们又想出了一个蠢主意：数数！数一数，看看有多少个质数小于某个数。比如有四个小于10的质数；有8个质数小于20；有15个质数小于50。

于是数学家们为此定义了一个函数，叫做素数计数函数，它被标记为(x)，即(10)=4；(20)=8等。总是可以估计的。此外，您可以绘制函数的图像：

图2

素数计数函数

本文从(x)的函数图出发，研究了素数个数增加的一些一般规律，称为“素数定理”:

(4)

公式是素数定理的粗略表达，其中ln x是x的自然对数，公式的意思是当x趋近于无穷大时，( x)与x/ln x的比值趋近于1，但这并不意味着它们的值随着x的增大而趋近。

素数分布lnx的倒数形式最早由欧拉猜测，勒让德最终得到素数定理。50年后，高斯在一封信中说，他在少年时代就猜到了这个结果，所以素数定理也叫勒让德-高斯定理。

黎曼猜想，超越百年未解

黎曼比高斯欧拉晚出生70年。

(1826-1866)

他是高斯的学生，但他在39岁时英年早逝。他深入思考，成果丰硕。据说高斯想试试黎曼有多聪明，让他从分析转到几何。没想到，黎曼一上手就出人意料地创立了黎曼几何。之后黎曼继续用欧拉未完成的函数研究素数问题。

黎曼首先解析地将欧拉函数(1)推广到几乎整个复平面。

(s=1除外)。解析延拓是将一个函数的定义域解析延拓到过去不能应用的数域，即定义所有复s，函数，其中s等于1，有一个简单极点，没有解析剩余等于1。

解析延拓后的函数称为“黎曼函数”。

黎曼函数与素数直接相关。根据欧拉乘积公式(3)，当实部大于1时，是自然数的一系列幂的倒数和与所有素数相关的乘积。因此，通过对黎曼函数的研究，我们可以得到很多关于素数的信息，比如素数定理(4)，它是在1986年通过对黎曼函数的研究首次证明的。关于质数的更精确的信息

1859年，黎曼被选为柏林科学院的通讯研究员，他提交了一份8页的论文《论小于某值的素数个数》。在文章中，他提出了黎曼猜想。这个猜想是数论中与素数有关的一个重要未解问题。

图3

黎曼函数，解析地将欧拉函数推广到整个复平面。

黎曼注意到函数有两个零点。当s=-2，-4，-6，-8时。

(负偶数)

，是微不足道的零点。黎曼称其他零点为非平凡零点，素数频率与非平凡零点有关。非凡的零在哪里？这个问题太复杂了，黎曼没有一个准确的结论，所以他在没有证明3354的情况下提出了下面这个“黎曼猜想”。

所有这些非平凡的零点都在实数部分等于一半的垂直线上。

这个看似平淡无奇的猜想，至今激起了无数数学家的努力。自解决以来已有163年，但还是取得了一些进展。从进度可以看出这个问题的重要性，黎曼的深厚功夫和过人能力。

黎曼的论题有三个命题：非平凡零点的实部大于0但小于1；几乎所有的非平凡零点都位于实部为1/2的直线上；黎曼函数的所有非平凡零点都位于具有1/2实部的直线上。

数学家们用了46年的时间证明了黎曼认为显而易见的第一个命题；黎曼说，他证明了第二个命题，但没有简化到可以发表。然而，到目前为止，第二个和第三个命题还没有被证明。人们也试图找到具体的非平凡零点，这仍然是非常困难的。

该猜想发表44年后，数学家首次计算出前15个非同寻常的零，20年后，他们又计算出前138个零。在黎曼的手稿中，数学家西格尔发现了73年前黎曼计算非平凡零点的公式。

(黎曼-西格尔公式)。西格尔发现这个公式后，用4年时间算出了1000多个非同寻常的零。现在，数学家用这个公式和计算机来验证前200多亿个非平凡的零。

目前找到的所有零，实部都是0.5，无一例外。

张益唐和孪生素数猜想

张最近宣布的进展，与前面提到的黎曼猜想有关。在介绍他关于黎曼猜想的工作之前，我先介绍一下他几年前突破的另一个素数难题：孪生素数猜想。

什么是孪生素数？即两个素数之差为2，如3和5；5和7等。两千年前，欧几里德证明了素数的个数是无限的。同时，欧几里德也认为：孪生素数是否有无穷多个？欧几里德的猜想是无限的，但他没有证明。这就是孪生素数猜想3354。

有无限对素数(p1，p2)，满足p1-p2=2

图4

孪生素数猜想

但是，张并没有完全解决孪生素数猜想。他证明了什么？

要理解张的结果，首先孪生素数猜想可以写成：“有无穷对素数的差等于2”；张的证明是：“存在无穷多个一对差小于7000万的素数”。

换句话说，张证明了一个比原来猜想“更弱”的命题。原命题的差距是2，但是这个差距可以放宽，比如放宽到4或者100，1000。张的工作意思是，如果把范围扩大到7000万，他会证明。然后就可以缩短间隔，缩小包围圈。如果能减到2，就证明了当初的猜想！

这就是这个方法的思想。但是，对比这两个结论，你可能会惊讶：7000万vs2，还差十万八千里！

确实是这样，但是在张的结论之前，这个问题是没有上限的，也就是上限是无穷大。张将换成7000万元限量版，这是一个里程碑式的进步。后来，陶哲轩等。不断降低上限。张提交证明后，上限降至246。

广义黎曼猜想

数学家研究算术以及自然数中素数的分布。

(算术差)

数列中包含的素数。因为所有大于2的质数都是奇数，所以算术级数{1 2k，k=1，2，3。}包括除2以外的所有质数，换句话说，算术progr。

“狄利克雷定理”讲的是等差数列中的素数问题。狄利克雷第一个用解析方法解决数论问题，被称为解析数论。Dirichlet等人在解析数论领域发展了一套研究某些函数零点的工具，并将其应用于哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等。它也适用于素数的分布。

为了证明狄利克雷定理，1837年狄利克雷引入了狄利克雷的L函数。狄利克雷的L函数可以看作是黎曼函数的推广；

与黎曼函数相比，狄利克雷L函数将求和公式中的每一项乘以一(n)，称为狄利克雷特征。

狄利克雷特征(n)具有以下性质：

有一个正整数k，使得对任意n有(n)=(n k)；

对于任意m，n，(mn)=(m) (n)

•(1)=1

第一个表明(n)是以k为圆的圈；第二种解释是产品功能；当第三条给出(1)=1时，狄利克雷的L函数变成黎曼函数，保证了L函数确实是函数的推广。说白了，满足这三个性质的狄利克雷特征是一组函数(n)，定义域为自然数，取值范围可以限定为只有三种可能：0，1和-1。

所以狄利克雷L函数和黎曼函数的区别在于，后者是函数，前者是群。

(可以有不限)

函数，特例之一：当所有狄利克雷特征为1时，简化为黎曼函数。黎曼函数是狄利克雷L函数的特例，也是最简单的情况。

狄利克雷的L函数在很多方面与黎曼函数相似，可以相互对应。比如狄利克雷L函数的零点可以分为普通零点和非普通零点，非普通零点都在0。

(即关键领域)

在里面。对应于黎曼函数的黎曼猜想对应于狄利克雷L函数的广义黎曼猜想。

因为狄利克雷的L函数是黎曼函数的推广，所以广义黎曼猜想显然是黎曼猜想的推广。

黎曼猜想黎曼函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上；广义黎曼猜想是Dirichlet的L函数的所有非平凡零点都位于复平面上Re(s)=1/2的直线上。如果证明了广义黎曼猜想，也就证明了黎曼猜想，反之亦然。

原函数的欧拉乘积公式(3):

对于狄利克雷L函数，应该写成：

(5)

研究狄利克雷L函数的零点分布不仅对解决广义黎曼猜想和黎曼猜想有用，而且对解决哥德巴赫猜想和孪生素数猜想也有帮助。

朗道-西格尔零点问题

黎曼猜想和广义黎曼猜想尚未得到证明，但大多数数论者认为猜想成立，即函数或L函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部等于12的直线上。

刀郎

(1877-1938)

还有西格尔。

(1896-1981)

，是两位德国数学家，而朗道是西格尔的导师。他们对Dirichlet的L函数的非平凡零点进行了深入的研究，发现对应的L函数在满足特殊性质时可能存在反常零点，这是不可避免的。位置异常意味着这个可能的零点不在实部1/2的直线上，而是非常接近1。这个零点叫做朗道-西格尔零点。

(或者西格尔零)。不过他们也证明了，对于狄利克雷的L函数，这样的零点最多只有一个，实部非常接近1。

也就是说，“朗道-西格尔零点”被定义为广义黎曼猜想的反例，这样一个零点不存在的猜想称为朗道-西格尔猜想。如果这个朗道-西格尔零点真的存在，那么广义黎曼假设就是错误的，所以实际上数学家们都在试图通过探索西格尔零点来证明这样的零点不存在。